Propriedades dos Conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
   
   A A = A   e   A A = A
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
   
   A A B,  B A B,  A B A,  A B B
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
   
   A B equivale a A B = B
   A B equivale a A B = A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
   
   A (B C) = (A B) C
   A (B C) = (A B) C
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
   
   A B = B A
   A B = B A
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
   
   A Ø = A
8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
   
   A Ø = Ø
9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
   
   A U = A
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
    
    A (B C ) = (A B) (A C)
    A (B C) = (A B) (A C)
    Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
    
    

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C_AB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

C_AB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Ø^c=U e U^c=Ø.

Leis de Augustus De Morgan

1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.
   
   (A B)^c = A^c B^c
2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
   
   (A₁ A₂ ... A_n)^c = A₁^c A₂^c ... A_n^c
3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.
   
   (A B)^c = A^c B^c
4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
   
   (A₁ A₂ ... A_n)^c = A₁^c A₂^c ... A_n^c

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

AB = { x: xAB e xAB }

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

1. A=Ø se, e somente se, B=AB.
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. AA=Ø (conjunto vazio).
6. A interseção entre A e BC é distributiva, isto é:
   A (B C) = (A B) (A C)
7. A B está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é:
   A B (A C) (B C)